高考数学知识梳理三角函数的应用复习教案

关于高考数学知识梳理三角函数的应用复习教案

教案48 三角函数的应用

一、前检测

1．证明：

2．在△ABC中，求证：

3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为 ，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？

答案：70 n mile/h

二、知识梳理

1．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等

解读：

2．实际问题中有关术语、名称．

（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角

（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

解读：

三、典型例题分析

例1．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东 方向，B向西偏北 方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的 ，过三小时后，A、B的距离是 ．

解：90.8 nmi

变式训练 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角 ，A处有灯塔，其方位角 ，在C处观测灯塔A的方位角 ，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是 答案：20km

小结与拓展：

例2．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为 ，现在要将坡底伸长 米，求改建后的倾斜角为多少度？

答案：30°

变式训练：在200米高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别是 ， ，则塔高为______________

答案：

小结与拓展：

四、归纳与（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

4.教学反思：

函数与方程及函数的实际应用

1．函数与方程

（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）根据 具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

2．函数模型及其应用

（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

【核心要点突破】

要点考向一：函数零点问题

考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.

2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。

考向链接：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有

（1）零点或零点存在区间的确定；

（2）零点个数的确定；

（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

例1：（2010?福建高考文科?Ｔ7）函数 的零点个数为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

【规范解答】选C， ，绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。

【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

令 ，则

（1）当 时， ， 或 （舍去）；

（2）当 时， ，

综上述：函数 有两个零点。

要点考向二：用二分法求函数零点近似值

考情聚焦：1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.

2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题，考查学生的探究和计算能力。

考向链接：用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)<0,给定精确度 ；（2）求区间(a,b)的中点 ；（3）计算f( );

①当f( )=0,则 就是函数的零点；

②若f(a)?f( )<0,则令b= (此时零点 )，

③若f( )?f(b)<0,则令a= (此时零点 )。

(4)判断是否达到其精确度 ，则得零点近似值，否则重复以上步骤。

例2：已知函数

（1）求证函数 在区间[0，1]上存在惟一的极值点。

（2）用二分尖求函数取得极值时相应 的近似值。（误差不超过0.2;参数数据 ）

【思路解析】求导数→ → 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.

【解答】

（2）取区间 [0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

区间中点坐标中点对应导数值取值区间

[0，1]1

[0，0.5]0.5

[0.25,0.5]0.25

由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点 ,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应 的值.

函数 取得极值时,相应

要点考向二：函数的实际应用

考情聚焦：1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环境保护，工程建设等相关的增长率、最优化问题。

2．常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。

例3：（2010?湖北高考理科?Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层， ……此处隐藏21911个字……（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为

解得

由已知得

故所求的椭圆方程为 .

12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离PF1=a+ex1，到右焦点F2的距离PF2=a-ex1；同理椭圆 上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。

解：由椭圆方程 可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率 ，由焦半径公式可知， 。又直线 的方程为：

即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知， ，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，

∴ 为定值。

13、解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

MA+AP=MB+BP,

即 MA－MB=BP－AP=50,

∴M在双曲线 的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

14、分析： 的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此 ，F1F2=2c，所以我们应以 为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

证明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，则

（2）在 中由余弦定理可知

y

15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .

∵ PA + PB = CA + CB =

∴动点P的轨迹是椭圆 .

∴曲线E的方程是 .

（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程 ，得

设M1（ , 则

i) L与y轴重合时，

ii) L与y轴不重合时，

由①得 又∵ ,

∵ 或

∴0＜ ＜1 , ∴ .

而 ∴ ∴

∴ 的取值范围是 。

16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

解：（I）由点A（2，8）在抛物线 上，有 解得

所以抛物线方程为 ，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是 的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为 ，则

解得 所以点M的坐标为

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。

设BC所成直线的方程为

由 消x得

所以 由（II）的结论得 解得

因此BC所在直线的方程为 即 。

2016届高考数学知识要点平面向量的数量积复习教案

平面向量的数量积

一．复习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条和向量数量积的简单运用．

二．主要知识：

1．平面向量数量积的概念；

2．平面向量数量积的性质： 、 ；

3．向量垂直的充要条： ．

三．前练习：

1.下列命题中是正确的有

①设向量 与 不共线，若 ，则 ； ② ；

③ ，则 ； ④若 ，则

2．已知 为非零的平面向量. 甲： （ ）

甲是乙的充分条但不是必要条 甲是乙的必要条但不是充分条

甲是乙的充要条 甲既不是乙的充分条也不是乙的必要条

3．已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为 （ ）

2

4．平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 ___ __ ____.

5．已知 = =2， 与 的夹角为600，则 + 在 上的投影为 。

6．设向量 满足 ，则 。

7．已知向量 的方向相同，且 ，则 ___ ____。

8．已知向量 和 的夹角是120°，且 ， ，则 = 。

四．例题分析：

例1．已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

（1）求证： ⊥ ； （2）若 ，求 的取值范围.

小结：

例2．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）

（1）若 ，且 ，求 的坐标；

（2）若 = 且 与 垂直，求 与 的夹角 .

小结：

例3．设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为60°，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.

小结：

例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。

小结：

五．后作业： 班级 学号 姓名

1．已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分（ ）

16，0 4，0

2．平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足

，其中 ，且 ，则点 的轨迹方程为： （ ）

3．已知向量 ， ，那么 的值是（ ）

1

4．在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则 ( )

5．已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段 上，且有 ，则 的最大值为 （ ）

6．设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的值等于 （ ）

2 4 8

7.设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）

③ 不与 垂直 ④

中，是真命题的有 ( )

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④

8．设 为平面上四个点， ， ， ，且 ， = ，则 ＝___________________。

9．若对 个向量 存在 个不全为零的实数 ，使得 成立，则称向量 为“线性相关”．依此规定， 能说明 ， ， “线性相关”的实数 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

10．向量 都是非零向量，且 ，求向量 与 的夹角.

11．已知向量 ， ，

（1）当 ，求 ；

（2）若 ≥ 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。

12．设 , , , ， 与 轴正半轴的夹角为 , 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ,求 ．